Представление сигналов

Продолжаем обсуждение вопросов о представлении сигналов в спектральном и временном представлении. Как мы уже говорили, с временным представлением удобно работать, когда вы пытаетесь найти или определить сигнал на развёртке, то есть вы знаете, что излучили, вы это ищете. В этом случае корреляционный приём хорошо работает, поэтому он используется во многих системах связи: и в радиолокации, и передаче данных, в общем-то это уже рабочая технология.

Когда нужно исследовать сигнал более подробно, понять, как влияет среда распространения на сигнал, бывает проще использовать спектральное представление сигнала, то есть представить сигнал в виде набора синусоид.

Рассмотрим пример: вы передаёте данные по каналу связи, но, как правило, тот радиосигнал, с которым вы работаете, он проходит не в вакууме — всегда есть среда распространения, даже если вы работаете в космосе или исследуете связь с Вояджером, то межпланетное пространство всё-равно наполняет солнечный ветер, там есть магнитные поля и так далее, и поэтому среде распространения сигнала уделяют очень серьёзное внимание.

Среда распространения по-разному работает в том или ином диапазоне частот. Например, если вы работаете в коротковолновом диапазоне, то сильное влияние на распространение сигнала оказывает верхняя атмосфера.

Мы излучили сигнал, он дошёл до верхних слоёв атмосферы, которые представляют собой замагниченную холодную плазму (ионосфера). Обратите внимание, что изначальное прямолинейное распространение изменилось, и вы видите существенное изменение траектории сигнала вплоть до обратного распространения.

Если взять частоты побольше — 30–50 МГц и выше, то ионосфера будет влиять всё меньше и меньше на сигнал, линии становятся всё более прямыми, то есть эффект рефракции уменьшается.

И если уйти в Гигагерцовый диапазон, в котором работают системы навигации GPS и ГЛОНАСС, то на ход лучей среда практически не влияет.

Но в любом случае влияние среды присутствует и искажает сигнал.

Рассмотрим базовый случай.

Прямоугольный сигнал не передаётся так, как будто мы включили рубильник, подождали, выключили и получили прямоугольный сигнал. На самом деле сигнал передаётся в виде прямоугольника, который заполнен несущей частотой. И если посмотреть в спектральном представлении, какими гармоническими составляющими он может быть представлен, то мы увидим следующий рисунок. 

Обратите внимание, что и спектр прямоугольного сигнала, и спектр прямоугольного сигнала, заполненный гармоническим сигналом, практически братья близнецы. Но второй сигнал, который заполнен, сдвинут на ту частоту, которой он заполнен. Обратите внимание, что сделали следующее преобразование: просто перенесли параллельным переносом исходный сигнал на нужную нам частоту. 

Этот сигнал представляет собой затухающую волну, её обычно называют функцией Sinc. Она не бесконечно узкая, то есть у неё есть характерная ширина, что очень важно, так как эта ширина связана с длительностью прямоугольного сигнала. А связаны они соотношением неопределённости Вудворда:

2πΔf × Δt ≥ 1

Это одно из базовых соотношений в теории сигналов и в радиосвязи. 

Оно говорит о том, что, например, если мы возьмём и начнём уменьшать длительность сигнала, или, другими словами, устремим Δt к нулю, то Δf (ширина спектра или полоса сигнала) начнёт увеличиваться, то есть чем уже сигнал, тем шире его спектр.

Таким образом, для того, чтобы передать как можно больше информации в единицу времени, необходимо генерировать как можно больше таких маленьких импульсов, которые по времени будут всё меньше и меньше, но это означает, что спектр каждого конкретного импульса будет всё шире и шире.

Можно вспомнить опыт из школьной геометрической оптики, когда белый свет подаётся на стеклянную призму, и он распадается на составляющие — превращается в радугу. Это наблюдается потому, что для каждого участка спектра коэффициент преломления разный, и поэтому волны с разной длинной отклоняются на разный угол. 

Если это работает для света, а мы помним, что свет эта та же самая электромагнитная волна, но только на очень большой частоте, то тот же самый эффект наблюдается и в реальном канале. То есть когда сигнал проходит через какую-либо среду, то на разные составляющие спектра сигнала среда будет действовать по-разному.

Среда всегда имеет какие-то дисперсионные свойства, которые выражаются в том, что, как в случае с призмой, свет разложился на разные составляющие.

Давайте проследим теперь всю цепочку целиком: чем уже импульс, тем шире спектр, а чем шире спектр, тем сильнее будет влияние дисперсионных свойств среды на сигнал.

Например, дисперсионные свойства атмосферы в городской среде вы можете увидеть на графике: как меняется коэффициент преломления в зависимости от частоты. Обратите внимание, что это не константа: есть и минимумы, и максимумы.

А теперь посмотрим, как будет выглядеть импульс, если мы пропустим короткий сигнал через атмосферу нашего городского воздуха.

Обратите внимание, что изначально он был практически идеально прямоугольный, а после прохождения через среду, он изменил свою форму, как раз вследствии того, что на разные части его спектра влияние среды было разным.

А мы помним, что фактически наш прямоугольный импульс — это сумма синусоид, и когда каждая синусоида прошла через канал связи, то он изменил амплитуду каждой синусоиды, и когда все синусоиды добрались до приёмника и опять сложились, то сложились они уже с разными соотношениями амплитуд, отличными от начальных, и сигнал изменился.

То, о чём сейчас было сказано, характеризуется передаточной функцией канала связи. Эта функция характеризует каким образом канал связи влияет на одну гармонику сигнала. А во временной области существует понятие импульсный отклик — это влияние канала связи на бесконечно короткий сигнал. Мы помним, что если излучается сигнал бесконечно малой длительности, то спектр будет стремиться к бесконечности согласно соотношению Вудворда.

Поэтому в зависимости от задачи иногда бывает удобно работать с передаточной функцией, то есть в спектральном представлении, или же с импульсным откликом, если работаем во времени.

Итак, сигнал в спектральном представлении — это сумма гармонических сигналов, например, синусоид, а сигнал во временной области — это сумма маленьких бесконечных импульсов.

В заключение рассмотрим пример с частотной модуляцией и посмотрим, как работают два этих представления.

Пусть есть сигнал, который представляет последовательность 0 и 1, то есть мы разложили сигнал на биты и хотим их передать. 1 будем передавать в виде прямоугольника заполненного частотой f₁, а 0 будем передавать в виде этого же прямоугольника той же самой длительности, но заполненного уже частотой f₂, эти частоты отличаются. 

Теперь посмотрим, каким образом нужно выбрать эти частоты  f₁ и  f₂, чтобы на приёмнике можно было эти биты принять и различить.

Попробуем первый бит, который является 1, представить в спектральном представлении.

Обратите внимание, что это знакомая функция Sinc, которая центрирована на частоте  f₁. А если мы рассматриваем 0, то это та же самая функция Sinc, но центрированная относительно  f₂. 

Заметим, что обе функции Sinc пересекаются, и если частоты сделать очень близкими, то эти две волны начинают сливаться, и различить где начинается одна, и заканчивается другая становится невозможно. 

Поэтому частоты f₁ и f₂ нужно выбрать так, чтобы в спектральном представлении можно было четко выделить их по-отдельности. Расстояние между ними должно быть несколько больше, чем полоса каждого прямоугольного сигнала. На практике, как правило, используют коэффициент 1,2, что позволяет, с одной стороны, сингалы различить, а с другой — экономно использовать диапазон частот, который выделен и с которым работаем.

А сколько в принципе различных частот можно получить, например, если длительность бита одна микросекунда (10^-6 с)? Центральная частота 10 Гигагерц (10¹⁰ Гц). Теперь если рассмотрим соотношение Δf / f, то получим 10^-4, то есть десять тысяч различных частот или различных частотных независимых каналов можно получить и с ними работать. 

Но если увеличить несущую частоту, и сделать её не 10 ГГц, как в данном примере, а уйти в 5G, и сделать например 100 ГГц, то соответственно число частотных каналов вырастет на порядок.

Поэтому уход в более высокие частоты, с точки зрения несущей частоты, позволяет значительно увеличить число различных частотно-независимых каналов, и, как следствие, обслужить большее количество потребителей или увеличить пропускную способность.

Для размышления

Используя соотношение Δf / f, подсчитайте количество возможных частотных каналов для 5G диапазона, при длительности бита в 10^-6 с. А также для случая, когда мы используем длительность бита в 10^-9 с на  центральной частоте в 10 ТГц.

Материалы

• Как происходит преобразование аналогового сигнала в цифровой