Оптимальная стратегия в аукционе первой цены

Оптимальная стратегия в аукционе первой цены

Давайте рискнем и попробуем решить ту задачу, которая стоит перед участником аукциона первой цены. Сколько ему все-таки называть ставку для того, чтобы получить потенциально максимальную выгоду? Задача не является тривиальной. Нам не вполне понятно, что делать, как найти компромисс между снижением цены, приводящим к большему выигрышу, и уменьшением вероятности нашей победы.

Давайте начнём со следующего примера. Пускай в аукционе участвуют 2 участника, и ценности лота для них равномерно распределены, скажем, в диапазоне от нуля до одного миллиона. Допустим, есть некое произведение искусства, и мы не знаем, насколько оно интересно второму участнику. Ему, возможно, оно совершенно не нравится. А, может быть, этот человек готов заплатить миллион. При этом я свою ценность знаю. Допустим, моя ценность составляет 600 тысяч, то есть 0,6 миллиона. Сколько мне установить в качестве ставки?

Интуиция

Давайте попробуем провести некую интуицию. Какие у меня есть исходные параметры? Давайте обозначим ценность лота за букву «v», а ставку, которую я делаю, буквой «b». Тогда у меня будет выигрыш (v – b) — это сумма, которую я получаю в случае выигрыша, разница между моей ценностью и тем, что я должен заплатить. И ее нужно умножить на вероятность моей победы P(b). И вероятность моей победы зависит от того, какую ставку я сделаю. Если я сделал ставку в миллион, то выиграл гарантированно, если сделал ставку 0, то гарантированно проиграл. У меня получается функция ожидаемого выигрыша: V = (v – b) P(b). У нас есть, как минимум, два значения, когда функция принимает значение 0 — то есть то, что меня не устраивает совсем. Где эти точки?

Во-первых, если b=v.  Если я, обладая ценностью 600 тысяч, ставлю ровно 600 — я с высокой вероятностью побеждаю на этом аукционе, но я ничего не выигрываю. Я покупаю пятитысячную купюру за 5 тысяч, примерно так же, как в уже упоминавшемся примере.

И вторая ситуация, которая меня не устраивает. Когда я делаю низкую ставку, тогда разность (v – b) у меня будет максимальна, но вероятность победы при ставке равной нулю (b=0) тоже равняется нулю.

Гипотеза

Давайте сделаем предположение о том, что у нас функция выигрыша имеет некий симметричный вид, то есть она первоначально принимает нулевое значение в нулевой ставке, затем она возрастает, и потом она опять падает до нуля, когда у меня ставка совпадает с моей ценностью. Где достигается максимум симметричной функции? Ровно посередине, в точке b = v/2. Это еще не доказательство, это некая гипотеза, какая будет моя правильная стратегия. Возможно, мне стоит указать половину своей оценки. То есть если у меня лот обладает ценностью 600 тысяч, я должен указать сумму в 300. Попробуем доказать, что это действительно так.

Доказательство стратегии b=v/2

Если конкурент использует эту стратегию, то его ставки равномерно распределены, но уже не в диапазоне от нуля до миллиона, а от нуля до полумиллиона. Потому что, если у него ценность миллион, он поставит 500 тысяч, если у него ценность 800, он поставит 400, если у него ценность 400, он поставит 200 и так далее. То есть его вероятность победы будет связана со ставкой, и мы можем посчитать, чему это величина равна. Но нас больше интересует не его победа, а наша. Если мы поставим, скажем, 500 тысяч, то можем понять, что при чужой стратегии говорить v/2 мы побеждаем гарантированно. Помним, что при ставке b=v/2 его максимальная ставка как раз оставляет 500000, мы ставим 500001 и выигрываем этот аукцион гарантированно.

Является ли идеальным вариантом гарантированно выиграть 100 тысяч? Напомню, что у нас ценность составляет 600, поэтому мы можем просто 100 тысяч положить в карман. Но может быть нам стоит делать что-то другое?

Допустим, мы поставим 300 тысяч, и у нас будет вероятность победы 300/500 = 60 %, и при этом наш выигрыш составит 600 – 300 = 300 тысяч рублей. С вероятностью 40% мы проигрываем аукцион, и наш выигрыш просто будет равен нулю. Но если мы 60% умножаем на 300 тысяч, мы получаем ожидаемый выигрыш в 180 тысяч, а это больше, чем 100. Мы уже выигрываем не гарантированно, но выигрываем в 3 раза большую сумму. Поэтому нам стоит поступать именно так.

Может ли быть вариант ещё лучше? Давайте посмотрим. Итак, вероятность нашей победы P(b) просто равняется 2b: P(b) = 2b. Если мы ставим 500 тысяч (то есть 0.5 млн), то у нас вероятность равняется единице. Если мы ставим, например, сумму 100 тысяч (0.1 млн), то у нас вероятность выигрыша 20%. Тогда наш ожидаемый выигрыш равняется: V = (v – b) P(b) = (v – b) 2b = 2vb – 2b² → max. Максимизируем эту величину по нашей ставке. Берём производную, приравниваем ее к нулю: V’ = 2v – 4b = 0, и, действительно, получаем тот самый ответ b=v/2. То есть наилучший ответ на стратегию называть половину ценностей — это та же самая стратегия — называть половину ценности. Это и есть равновесная стратегия, как это определяется в экономике.

Обобщение результатов

Конечно, эта ситуация была очень маргинальной, потому что мы редко видим аукцион с двумя участниками. Участников может быть больше, и тогда результат будет немного иной. Нам нужно будет уже не делить нашу ценность пополам, то есть умножать на одну вторую, а умножать на (n – 1)/n: b = v (n – 1)/n.

Например, если участника три, то нам нужно будет умножить на 2/3 нашу ценность, мы ставим 400 тысяч при ценности 600. Если у нас участников 10, то мы должны умножить ценность на девять десятых, и поставить 540. Ну а если участников, например, 100, то мы должны умножить на 0.99 и поставить 594 тысячи. Заметим, что чем больше участников, тем ближе наша ставка к ценности лота.

Равномерное распределение — это тоже некоторое предположение, которое не всегда реалистично. Мы можем предполагать любые другие законы распределения. В частности, более реалистичным является нормальное распределение, присутствующая довольно часто в различных экономических постановках «шляпа». Есть некая точка, вокруг которой мы ожидаем увидеть ценность других участников. Если у нас этот закон распределения определён, то проведя некоторые алгебраические преобразования и решив дифференциальное уравнение, мы можем получить оптимальную ставку. В экономической науке всё это сделано. Можно открыть учебник по теории аукционов и разобраться в том, какие ставки нужно сделать в общем случае. Принцип постановки задачи будет именно такой.

Результаты Роджера Майерсона

Ну а теперь я хочу остановиться еще на нескольких результатах, которые отсюда следуют. Эти результаты были выведены Роджером Майерсоном в 1981 году. И именно за эти результаты он, совместно с Эриком Маскиным и Леонидом Гурвицем, получил Нобелевскую премию в 2007 году. Очень важные результаты, причём сам Майерсон в годы их разработки считал, что это очень красивая математика, но не более того. Но прошло 10-15 лет и мы увидели, как эти результаты напрямую стали использоваться на практике. Если говорить про современный мир, всё это не какая-то маргинальная область, а самый-самый мейнстрим экономики. Наверное, это главное достижение современной экономической науки, которое было имплементировано в жизнь. Какие результаты Майерсона стоит выделить, про что можно рассказать вот так, совсем на пальцах?

Во-первых, есть некоторые простые выводы из формул, которые он получил. Например, оптимальная ставка будет строго ниже оценки объекта, при совершенно любом распределении ценностей. При любом варианте, во сколько участники оценивают объекты, всегда нужно указывать ставку ниже.

Во-вторых, чем больше участников аукциона, тем ближе ставка к истинной оценке объекта. Мы это наблюдали на примере. Если было два участника, то при ценности 600 мы ставили половину —  300. Если участников становилось 3, то платили 400. Десять участников —  540 и так далее. У нас всё время с ростом количества участников аукциона увеличивалась и ставка.

Теорема об эквивалентности форматов

Наконец, главная теорема — теорема об эквивалентности форматов. Для того, чтобы её доказать, необходимо ввести некоторые дополнительные предположения, но эти предположения кажутся совсем очевидными.

Итак, первое предположение. Игрок с нулевой оценкой ничего не платит. Логично, если я ничего не готов заплатить за этот лот, зачем мне какую-то ставку делать? Второе предположение: объект всегда остаётся тому участнику, который указал максимальную сумму. Тоже вполне логично, и в большинстве форматов аукционов именно такая ситуация рассматривается — и в аукционе первой цены, и в аукционе второй цены, и в английском аукционе, и в голландском аукционе — мы в любом случае отдаём лот тому участнику, кто заплатил максимум.

Кстати, заметим, что даже это не является совсем необходимым условием, потому что можно поменять условия следующим образом. Мы можем рассматривать все возможные аукционы, для которых будет одинаковая функция размещения объекта. Сложно сказано, но давайте попробуем объяснить это на пальцах. Допустим, у нас лот делимый, то есть у нас не картина, которую нельзя порезать ножом на несколько частей и отдать всем-всем-всем, а, вполне возможно, какой-нибудь пакет акций компании. И его действительно можно разделить на несколько частей. И вот мы говорим, что победитель аукциона получает, скажем, 80% от этого пакета, а тот, кто долго и упорно боролся и занял почетное второе место, получает в качестве утешительного приза 20% акций этой компании. Можно такой аукцион организовать? Да, можно. И среди всех таких аукционов будет тоже выполняться эта теорема. Аналогично мы можем рассматривать любую другую функцию размещения. Например, победитель получает 50%, следующий получает 30%, дальше 15%, 5%, на этом все суммы заканчиваются. То есть в этом смысле мы можем придумывать очень какие-то странные маргинальные форматы аукционов, но, тем не менее, главное, что функция размещение объекта должна быть одной и той же —  это второе условие.

И третье условие — то, что мы рассматриваем симметричное равновесие. Это, в общем-то, стандартная ситуация для экономики. Можно сказать, что ищем там, где светлее. А можем сказать и так: для того, чтобы экономическая система приходила в некоторое равновесие, равновесие должно так или иначе угадываться. Должен быть либо способ угадать, что нам стоит делать? Если все так делают, то нам нет смысла отклоняться от этого состояния — то, что называется в экономике таким понятиям, как равновесие Нэша — еще один великий Нобелевский лауреат по экономике, который может быть многим известен по фильму «Игры разума», но сейчас не о нем. А в другой ситуации мы можем просто сходиться к этому равновесию, и опять-таки нам логично, чтобы равновесие не было какое-то очень-очень вычурное, потому что к нему сойтись практически нереалистично.

Так вот, мы рассматриваем именно симметричное равновесие. Все участники ведут себя одинаково, как в нашем примере, что все платили половину своей ценности. Так вот, очень сильное утверждение. Если эти три свойства выполняются, то средний выигрыш продавца не зависит ни от каких других правил проведения аукциона. Аукционы могут быть абсолютно любые — английский, голландский, первой цены, второй цены, так называемый all-pay аукцион, кстати, тоже очень интересный аукцион, о котором мы поговорим отдельно. Все эти аукционы приносят аукционисту одну и ту же сумму при правильной стратегии поведения каждого из участников.