Автокорреляционная функция. Спектральный подход

Продолжаем разговор про беспроводные технологии связи. На прошлом занятии речь шла об автокорреляционных и корреляционных функциях. Мы рассмотрели задачу о том, как можно найти период функции, используя автокорреляционный анализ. Напоминаю графики, на которых мы остановились на прошлом занятии.

Сегодня мы продолжим эту тему, но зайдем немного с другой стороны. Зайдем именно со стороны спектрального анализа. Если на прошлом занятии мы говорили с точки зрения временной координаты, с точки зрения времени, то сегодня поговорим с точки зрения спектра. 

Дело в том, что когда мы работаем с сигналами, когда мы их излучаем, то сигнал всегда излучается на какой-либо частоте. Это связано с тем, что, во-первых, так его удобнее сгенерировать, удобнее управлять сигналом и переносить его на какой-то другой спектральный диапазон. 

Например, все вы видели что такое волна. Вы видите периодичные изменения, как распространяется волна. Что такое по сути волна? Это периодические изменения физической величины, распространяющиеся в пространстве. Это может быть амплитуда волны, которая побежала. Это может быть какая-то упругая волна. Я сейчас говорю, возникают  вариации давления и вы их слышите, причем эти вариации, которые сейчас создаются в воздухе, они очень похожи на те круги, которые вы видите от брошенного камня. И та, и та - акустическая волна. 

Радиосигналы распространяются за счет электромагнитного поля, то есть есть такие электромагнитные волны, например, светодиод излучает в видимом диапазоне - это пример электромагнитной волны, на очень высокой частот. Радиоволна - это распространяющиеся колебания электромагнитного поля. 

Шум в радиодиапазоне, окружающий нас, также имеет электромагнитную природу. Мощными источниками шума в радиодипазоне являются: Солнце, линии электропередач, аэропорты, сигнализация и так далее. 

Мы начали со спектрального подхода, основанный на том, что достаточно гладкую функцию можно разложить или представить в виде набора синусоид. Мы сейчас рассматриваем синусоиду как наиболее простую привычную нам функцию, с которой мы привыкли иметь дело. Практически любой сигнал можно представить как некоторый многомерный вектор. Любой вектор можно представить в виде некоторой сумма базисных векторов. Так и наш сигнал можно в виде линейной комбинации базисных векторов.

Рассмотрим отдельную синусоиду (нижний рисунок, серая линия). Добавим к ней еще что-то, еще одну синусоиду, еще, еще и еще… Мы добавляем порядка 20 синусоид, и при сложении они начинают образовывать сигнал, который вы уже видели (нижний рисунок, синяя линяя).

Обратите внимание, что у этого сигнала фронты немного завалены. То есть они не идеально вертикальные, как мы их видели на первом занятии, когда изображали прямоугольные импульсы. Добавим еще 20 синусоид. Обратите внимание фронты стали еще круче. Добавим еще 20 синусоид, фронты стали еще круче. И обратите внимание, что волна, которая вроде бы как видна на плато импульса, она с добавлением порции все новых и новых синусоид становится все меньше и меньше. То есть результат сложения наших волн все больше и больше напоминает прямоугольный импульс (верхний рисунок). 

Обратите внимание на следующую интересную картинку. Почему мы взяли все-таки синусоиды? Потому что это, так называемый, ортогональный базис. Например, мы возьмем и найдем тем же способом, которым мы находили автокорреляционную функцию на прошлом занятии для двух синусоид. Вот одна синусоида, а вот другая синусоида. У них немного отличаются периоды. А теперь найдем кросс корреляционную функцию. Чему она равна? Она равна нулю. То есть синусоиды с различными частотами линейно независимы.

Таким образом, мы можем любой сигнал представить в виде набора синусоид или их линейной комбинации. Это очень интересное свойство синусов как ортогонального базиса. Это не единственный ортогональный базис, который есть в природе, но наиболее естественный. Если вы в школе изучали резонансные колебания, например, колебательный контур, электрическую цепочку, вы знаете, что есть резонансная частота, которая определяется значениями индуктивности и емкости. 

Давайте теперь посмотрим на следующий момент, связанный с тем, как выглядит белый шум, который рассматривали на прошлом занятии и у которого автокорреляционная функция была четкий пик. Как можно такой белый шум представить в виде набора синусоид?

Для того, чтобы было понятнее, мы представим график, на котором по оси x (оси абсцисс) отложена частота синусоиды, а по оси y - амплитуда синусоиды. И посмотрите внимательно на этот график, обратите внимание, что для белого шума все синусоиды входят с одной и той же амплитудой. Так называемый спектр белого шума - равномерный. То есть все синусоиды сюда входят какими-то случайными фазами и одной и той же амплитудой. То есть нет выделенных частот в спектре белого шума. А как же выглядит спектр одной синусоиды? Просто одна палочка. Одна синусоида - одна палочка.

А теперь давайте посмотрим как выглядит наш прямоугольный сигнал, который мы промоделировали как сумму синусоид. Обратите внимание, что некоторые синусоиды имеют большую амплитуду, некоторые меньшую, но на краях амплитуда этих гармонических составляющих уменьшается. Фактически вы сейчас видите спектр прямоугольного сигнала. Так называемая у радиофизиков функция Синка (sinc(x)). И энергия сигнала, которую мы сейчас рассматриваем, равна энергии тех синусоид, тех гармонических сигналов, которые его образуют.

Получается, белый шум заполняет весь спектр равномерно. Наш прямоугольный сигнал имеет выделенную часть в спектре. Что напрашивается? Напрашивается такой интересный вопрос. Мы сказали про сигнал, что у него энергия, но тогда если следовать той же самой логике, мы можем сказать, что энергия белого шума бесконечна. Но естественно не бесконечна, вы ее видите. Спектр широкий, но каждая амплитуда входит с приближимо маленькой составляющей, а в сумме они дают такую бесконечность. 

Если рассматривать сигнал на языке математики, то мы должны говорить, что когда мы работаем со спектрами, мы работаем с функциями из L2 пространства, то есть они должны быть интегрируемы, то есть иметь конечную энергию во всем спектральном  диапазоне. Хорошо, если у нас сигнал имеет какую-то конечную полосу, как набор тех частот, с которыми мы работаем, имеет конечную полосу, и сейчас выбрана полоса примерно 3 кГц. 

Прошу обратить внимание на ширину этого импульса в спектральном диапазоне. 3 кГц - это примерно тот диапазон звуковых волн, которого достаточно, чтобы в нормальном виде передать мою речь, то есть вы будете спокойно понимать о чем я говорю без сильных искажений. Голос будет уже не таким как в реальности, но все-таки близким к реальности. Можно прослушать, как будет меняться моя интонация, мой голос в зависимости от полосы: 15 кГц, 10 кГц, 5 кГц, 3 кГц, 1 кГц. Вы видите, что то, что я говорю понятно, тембр моего голоса меняется. Он становится глуховатым, меняются индивидуальные моменты в голосе. 

Полоса сигнала, чтобы передать звуковой сигнал, нужна примерно 3 кГц. Соответственно, для того чтобы передать несколько сигналов, независимых. Обратите внимание, что если мы добавим сюда еще один сигнал, но сдвинем его в спектре. Вот у нас два синка. Они не пересекаются, друг другу не мешают. Тогда уже, соответственно, мы занимаем полосу 6 кГц. А как мы сдвинули импульс? Под ними сигналы, но уже во временной области.

Импульс, который соответствует первому спектру, он заполнен одной частотой, а импульс, который соответствует второму спектру, он заполнен другой частотой и вы видите, что частота выше. По сути дела, мы осуществили параллельный перенос спектральной области. Таким образом, чем больше у нас разрешенный  диапазон частот, в котором мы можем работать, тем больше таких частотно-независимых каналов мы можем организовать.

Этим мы и пользуемся, когда используем какую-то сотовую связь или радиосвязь, но источников становится все больше и больше. Соответственно, каждый источник хочет свой выделенный диапазон частот. Потому что если мы их будем совмещать, то они будут друг другу мешать. Что можно делать? Можно, конечно, ужать полосу. Но тогда вы, скорее всего, вообще ничего не поймете из того, что будет передаваться. Или же можно уйти во все более высокие частоты. Мы видим, что в сторону нуля можно двигаться ограниченно, а в сторону высоких частот можно двигаться еще далеко. Этим как раз и вызван переход в диапазон 5G. Потому что нужно все больше и больше для наших абонентов выделить свой соответствующий спектральный диапазон.

Ну а что происходит с шумом?

http://docs.cntd.ru/document/1200025699 

Здесь приведен рисунок, на котором показано как зависит мощность окружающего нас шума от частоты. Вы видите, что картина не равномерна, и где бы нам хотелось работать? Нам бы хотелось работать в тех местах, где шум имеет меньшую амплитуду. Кстати, обратите внимание, что шум имеет меньшую амплитуду на все более высоких частотах. 

Мы уже сказали, что информация передается с помощью радиоволн, а волна распространяется со скоростью. Электромагнитная волна в воздухе распространяется в воздухе примерно со скоростью света 3⋅10⁸ м/с.  

А что такое частота? Частота - это количество колебаний, совершенных в единицу времени. То есть скорость - это на какое расстояние продвинулась волна в единицу времени. Таким образом, если мы разделим скорость распространения на частоту, мы получим то расстояние, на которое распространилась волна за одно колебание. Это так называемая длина волны. 

Длина волны - фундаментальный параметр вообще в радиосвязи. Почему она имеет такое важное значение? Потому что если какое-то препятствие сильно меньше длины волны, то волна его проходит, не заметив. Можно сказать препятствие не является препятствием. Но если какой-то объект препятствия сравним с длиной волны, то он уже оказывает на распространение достаточно серьезное влияние. Таким образом, если у нас низкие частоты, длинные волны, то длина волны большая и для такой волны препятствия все меньше и меньше. Но как мы видели, диапазон таких длин волн достаточно ограничен. А для высоких частот, для маленьких длин волн есть куда двигаться, но практически все является препятствием. А для диапазона 5G, миллиметровых длин, у вас препятствием является практически все. Поэтому такие волны фактически распространяться только в зоне прямой видимости.

Для размышления

Подумайте и составьте список всех плюсов и минусов перехода на диапазон 5G.

Материалы

• Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (3 глава, об автокорреляции)