Видео-теория: Теория вероятностей

Тема этого занятия Теория вероятностей.

Что вообще такое теория вероятностей? Зачем она нам нужна?

У нас есть какое-то событие, и мы не знаем с какой вероятностью оно произойдёт, с какой частотой оно происходит, обо всем этом говорит понятие непредсказуемости, то есть мы живём в таком непредсказуемом мире, что мы не знаем какая погода будет точно на завтра, у нас есть прогноз погоды, но это не гарантирует того, что такая погода точно будет, то есть это прогноз погоды и всегда какая-то вероятность.

Бросок монеты. Мы всегда знаем, что она упадет, либо на орел, либо на решку, иногда может упасть на ребро. Но мы никогда не можем точно сказать, что она упадет конкретно на ту или иную сторону.

Какая следующая карта в колоде, мы тоже точно не может сказать мы можем посчитать вероятность возникновения такого события. И так мы выяснили, что мы живём в непредсказуемом мире.

Представим, что у нас возникла незавершённая игра, все ставки сделаны, победитель получит всё, проигравший ничего, а игру при этом невозможно продолжить, например, кубик исчез. Мы исходим из этих данных, при этом у одного игрока есть преимущество, что же с этим делать, назначить победителем игрока с преимуществом нельзя, потому что у проигравшего игрока ещё есть шанс отыграться. Поделить поровну нельзя, потому что у нас есть игрок, который почти выиграл и как-то нечестно будет. А как распределить выигрыш в таком случае между игроками непонятно.

Вероятность — это мера возможности наступления события, мы измеряем мерой возможности наступления события.

Как измерить вероятность?

Симметрия. Если все события имеют равные вероятности, то вероятность каждого равна 1/n.

Экстраполяция. За последние 1000 бросков кубика значение «шесть» выпало 100 раз. Какова вероятность выпадения «шести»?

Мнение. Эксперт считает, что вероятность 0,9. Дилетант считает, что вероятность 0,1. Так какова вероятность?

В теории вероятности существует несколько типов событий,  достоверные события, которые 100% произойдут, они обозначаются за 1, когда мы сложим все возможные исходы, то в сумме получится 1 или 100%.

Переходим к подсчету вероятности и алгебре событий.

Что такое вообще алгебра?

Это когда у нас есть некоторое количество объектов, и мы с ними производим операции, то есть складываем, вычитаем и получаем какой-то новый объект, если в двух словах, то в алгебре событий вероятность выражается операторами ИЛИ, И, НЕ.

 ИЛИ — это когда мы объединяем 2 события и смотрим, чтобы либо то, либо иное событие произошло.

И — это когда мы смотрим пересечения этих событий и то и то должно произойти одновременно.

НЕ — это когда мы инвертируем событие, то есть предполагаем, что это событие не произойдёт то есть, отрицаем событие.

Допустим, ручка должна упасть со стола и чай НЕ должен быть пролит.

Множество всех событий вычисляется по этим трём операциям.

Для элементарных событий или несовместимых взаимоисключающих событиях допустим у нас есть один кубик у него шесть граней, и мы можем посчитать и составить такую вероятность выпадения единицы и тройки. Если мы скажем, что нам нужно чтобы выпало 1 или 3, то мы складываем события и считаем вероятность. Если же мы говорим, что одновременно должны выпасть те же 1 и 3 то это невозможное события и вероятность равна нулю, потому что такого не может произойти. чтобы на одном кубике при одном броске выпали и 1 и 3.

p(А или B) = p(A) + p(B)

p(А и B) = p(∅) = 0

Для независимых событий считается следующим образом, допустим у нас уже появилось два кубика, и мы должны посчитать вероятность выпадения каких-то определённых чисел на том и на другом кубике, то есть объединяем и также складываем эти вероятности, а для того, чтобы вычислить что и то и то событие произойдет мы уже посчитаем эти вероятности.

p(А или B) = p(A) + p(B)

p(А и B) = p(A) × p(B)

Для зависимых же событий мы поступаем следующим образом, если мы представим круги Эйлера и посмотрим на их пересечение, то мы считаем одну вероятность одного событий, и вероятность второго события. Мы должны вычесть их пересечение, то есть звено по середине, иначе она почитается дважды и вероятность будет недостоверна.

p(А или B) = p(A) + p(B) – p(А и B)

p(А и B) = p(А) × p(B)

Основная теория для задач теории вероятности в прошлом выражалась в том, что если у каждого элементарного события есть какая-то ценность, то нам необходимо вычислить ценность ещё непроизошедшего события, то есть нужно было рассчитать с какой вероятностью произойдёт что-то в будущем и прийти к тому, что нам необходимо вычислить математическое ожидание случайной величины.

Математическое ожидание рассчитывается по сумме произведений получения вероятности на число этой вероятности.

Пример 1. Если на двух кубиках выпадет 11 или больше, мы проиграем миллион. Если нет — то выиграем два! Ставки сделаны, каков ожидаемый выигрыш?

То есть, мы можем посчитают что 11 у нас выпадет если на кубиках будет 5 и 6, 6 и 5, 6 и 6. То есть всего 3 комбинации из 36 возможных или 1/12. Вероятность того, что мы выиграем 2 миллиона, будет составлять 11/12. Достаточно хороший шанс.

Пример 2. Надо ли брать зонт, если вероятность дождя 20%?

Если вероятность дождя двадцать процентов существуют следующие исходы:

1.        Взяли зонт, пошел дождь.

2.        Взяли зонт, не пошел дождь.

3.        Не взяли зонт, пошел дождь.

4.        Не взяли зонт, не пошел дождь.

 Во всех этих вариантах разная выгода, допустим дождь не пошел, и мы взяли зонт, значит мы зря с собой тащили этот зонт, такая ситуация не очень приятна. Или, наоборот, мы его не взяли, но попали под дождь и промокли, тоже неприятно.

Пример 3. На отрезок длины 1 бросим случайную точку. Какова вероятность того, что мы попадём в участок до 0,3 до 0,7?

мы рисуем всю линию и выделяем наш интересующей отрезок и вычисляем что в этом отрезке получается четыре части.

И таких задач бывает очень большое и большое множество, с ними вы познакомитесь как на практике, так и сами на математике.